ニュートン算、比の利用|数的処理問題解説

ニュートン算、比の利用

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【問題】
ある量だけ水が入った容器に、毎分一定量の水が流入している。今管2本を用いて容器の水を排出していくものとする。管 A のみを2本用いて水を排出すると、3分後の水の高さは排出前の9/10になった。また、管Aと管 B を一本ずつ用いると、5分後の水の高さは排出前の11/12になった。毎分の管 Aと 管 B の水の排出量の比が3:2の時、毎分における容器の水の流入量と管Bの排出量の比はいくらか。(地上2002)

1: 1:1
2: 1:2
3: 3:2
4: 2:1
5: 2:3


比は一般的な形で下記のように表現できます。
a:b = c:d
そして同様に、下記のような形で計算されます。
a:b = c:d  ⇔  ad = bc

比の形から計算式へ、逆に計算式から比の形へ書き直せるようになっておくと良いでしょう。

本問は、分からないものを文字に置けるか、比をうまく活用できるかがこの問題のポイントです。

まず水の流入してくる管を管Cとします。 どの管からも水は一定量で出ているので、それぞれの管の水の流入量流出量は a, b, c と置くことにします。また、水位の高さも明記されていないので、 最初の水の高さをH と置くことにします。

問題文を見ていくと C から水が入りながら2本の A から水が出て行く場合、 3分後には H から H まで水が減ったことになります。水の流れる速さを a, b, c と置いたので、式は下記のようになります。

H-\(\frac{9}{10} \) H = 2×3×a -3×c
⇔\(\frac{1}{10} \)H = 6a-3c…①

次に A と B を一本ずつ用いた場合を考えます。 C から水が入りながら A と B からそれぞれ水が出て行く場合、水位が H から \(\frac{11}{12} \)H まで水が減ったことになります。上記と同様にして式は下記のようになります。

H-\(\frac{11}{12} \)H = 3×a + 3×b – 3×c
⇔\(\frac{11}{12} \)H = 5a + 5b –5c…②

よって二つの式が出ましたここから H =の形に式変形して両者の式を繋げてみましょう。すると下記のようになります。

①の両辺を10倍すると
H = 60a – 30c…③

②の両辺を12倍すると
H = 60a + 60b -60c…④

また A と B の管は排出量の比が3:2であるので、式は下記のようになります。

a:b = 3:2 ⇔ 2a = 3b ⇔ a = 1.5b…⑤

よってこの⑤を用いて③, ④から a の文字を代入すると、

H = 90b-30c
H = 150b -60c

これらの右式同士は等しいので、

90b – 30c = 150b -60c
30c = 60b ⇔ c = 2b

b と c の式が残りました 。

ここで前述した式から比の形に戻す方法を考えます。

問題文からcb = 〇:となるように式変形すると

c = 2b ⇔ 1×c = 2×b ⇔ c:b = 2:1

よって、正解は4番となります。

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