【問題】
ある量だけ水が入った容器に、毎分一定量の水が流入している。今管2本を用いて容器の水を排出していくものとする。管 A のみを2本用いて水を排出すると、3分後の水の高さは排出前の9/10になった。また、管Aと管 B を一本ずつ用いると、5分後の水の高さは排出前の11/12になった。毎分の管 Aと 管 B の水の排出量の比が3：2の時、毎分における容器の水の流入量と管Bの排出量の比はいくらか。(地上2002)

1：　１：１
2：　１：２
3：　３：２
4：　２：１
5：　２：３

本問は、分からないものを文字に置けるか、比をうまく活用できるかがこの問題のポイントです。

まず水の流入してくる管を管Cとします。 どの管からも水は一定量で出ているので、それぞれの管の水の流入量流出量は a, b, c と置くことにします。また、水位の高さも明記されていないので、 最初の水の高さをH と置くことにします。

問題文を見ていくと C から水が入りながら2本の A から水が出て行く場合、 3分後には H から H まで水が減ったことになります。水の流れる速さを a, b, c と置いたので、式は下記のようになります。

H-\(\frac{9}{10} \) H = 2×3×a -3×c
⇔\(\frac{1}{10} \)H = 6a-3c…①

次に A と B を一本ずつ用いた場合を考えます。 C から水が入りながら A と B からそれぞれ水が出て行く場合、水位が H から \(\frac{11}{12} \)H まで水が減ったことになります。上記と同様にして式は下記のようになります。

H-\(\frac{11}{12} \)H = 3×a + 3×b – 3×c
⇔\(\frac{11}{12} \)H = 5a + 5b –5c…②

よって二つの式が出ましたここから H =の形に式変形して両者の式を繋げてみましょう。すると下記のようになります。

①の両辺を10倍すると
H = 60a – 30c…③

②の両辺を12倍すると
H = 60a + 60b -60c…④

また A と B の管は排出量の比が３：２であるので、式は下記のようになります。

a：b = 3：2 ⇔ 2a = 3b ⇔ a = 1.5b…⑤

よってこの⑤を用いて③, ④から a の文字を代入すると、

H = 90b-30c
H = 150b -60c

これらの右式同士は等しいので、

90b – 30c = 150b -60c
30c = 60b ⇔ c = 2b

b と c の式が残りました 。

ここで前述した式から比の形に戻す方法を考えます。

問題文からc：b = 〇：△となるように式変形すると、

c = 2b ⇔ 1×c = 2×b　⇔　c：b = 2：1

よって、正解は4番となります。