X 国で販売予定の宝くじ（1口あたり200ドル）について、 X 出現確率と賞金が次のように示されている。この宝くじの賞金の期待値が1口あたり価格の8割（160ドル）となるための1等賞金はいくらか。（ 国税専門官2010）

1: 71万ドル
2: 72万ドル
3: 73万ドル
4: 74万ドル
5: 75万ドル

期待値の問題です。 期待値とはある試行を行った時に得られる数値の平均値のことを言います。これだとわかりにくいので例を出して考えると、まさに宝くじが分かりやすいと思います。

宝くじには1等2等3等など、等級によってもらえる賞金が異なり、1等に近づけば近づくほど、その賞金額も大きくなります。できればみんな宝くじを買って儲けたいと考えます。儲けるためには宝くじを買った時の金額よりも大きな金額が当たれば儲かることになります。

つまり宝くじを1口買うとおよそいくら賞金が得られるのか、これが宝くじにおける期待値になります。

期待値は次のようにして表すことができます。

ある試行によって得られる数量がx₁, x₂, x₃,…,x_nであるとき、それらの起こる確率がp₁, p₂, p₃,…,p_nであったとすると、その時の期待値は、

期待値＝x₁p₁+ x₂p₂ + x₃p₃+…+xnp_n

これも1般化されてイメージがつきにくいかもしれないので、本文で考えてみましょう 。

本文では表にそれぞれの等級と確率そして賞金が書かれています。中でも1等の賞金が分からないことになっています。わからないので X と置いておきましょう。

この条件で期待値を計算してみると次のようになります。確率がパーセントで表されているので、書かれている数字の\(\frac{1}{100}\)倍しないといけないということに注意しましょう。

期待値 = X×0.01×\(\frac{1}{100}\)＋20000×0.19×\(\frac{1}{100}\)＋4000×0.8×\(\frac{1}{100}\)＋100×19×\(\frac{1}{100}\)＋0×80×\(\frac{1}{100}\)

問題文よりこの宝くじの期待値が160ドルとなる場合を考えると、式は次のようになります。

160 = X×0.01×\(\frac{1}{100}\)＋20000×0.19×\(\frac{1}{100}\)＋4000×0.8×\(\frac{1}{100}\)＋100×19×\(\frac{1}{100}\)＋0×80×\(\frac{1}{100}\)…①

X について解いていきます。Xの係数を１にするために①の両辺を10,000倍します。

1,600,000 = X×1＋20,000×19＋4,000×80＋100×1,900＋0×8,000

1,600,000 = X + 380,000 + 320,000＋190,000

X = 1,600,000 – 890,000 = 710,000 = 71万

よって正解は1番だとわかります。