ある商品を120個仕入れ、原価に対し5割の利益を上乗せして定価とし販売を始めた。ちょうど半数が売れた時点で、売れ残りが生じると思われたので、定価の1割引きにして販売した。販売終了時刻が近づき、それでも売れ残りそうであったので、最後は定価の半額にして販売したところ、売り切れた。全体としては、原価に対し1割5分の利益を得た。このとき、定価の1割引きで売れた商品は何個か。（国家Ⅱ種2010）

1：5個
2：15個
3：25個
4：45個
5：55個

利益算では原価や定価が問題文に明示されないことが多いので、原価や定価などを文字としておく必要があります。文章を式にしながら、問題を読み解いていきましょう。

「ある商品を120個仕入れ、原価に対し5割の利益を上乗せして定価とし販売を始めた。ちょうど半数が売れた時点で」

原価なので文字はGと置こうと思います。

原価の5割分利益を乗せたので、定価は

定価 = １G + 0.5G = 1.5G

これが120個の半数なので60個売れたことがわかります。

「売れ残りが生じると思われたので、定価の1割引きにして販売した。」

定価の1割引きなので、この時の販売額は、

1.5G×0.9 = 1.35G

問題文にもありますが、この販売額で売れた個数を問われているので、x個売れたとしておきましょう。

「最後は定価の半額にして販売したところ、売り切れた。」

定価の半額なので、1.5G÷2 = 0.75G

このときに売り切れたので、先程の定価1割引きの時に売れた個数と合わせて考えると、売れた個数は60 – x個であるとわかります。

「全体としては、原価に対し1割5分の利益を得た。」

原価に対しての利益は、利益 = 定価 – 原価 であるので、120個売った時の全体の利益は、
0.15G×120…①
と表せます。

この要領で、それぞれの利益損益を考えていきましょう。

原価の5割増しを定価にしていた時の利益は、
(1.5G – 1G)×60…②

定価の1割引きを販売額にしていた時の利益は、
(1.35G – 1G)×x…③

原価の5割増しを定価にしていた時の利益は、
(0.75G – 1G)×(60 – x)…④

よって、②～④を合計したものが①と等しいので、

(1.5G – 1G)×60 + (1.35G – 1G)×x + (0.75G – 1G)×(60 – x) = 0.15G×120
⇔30G + 0.35Gx -0.25G(60 – x) = 18G

両辺をGで割ると、

30 + 0.35x -0.25(60 – x) = 18
⇔0.6x = 3
⇔x = 5

よって答えは1番だとわかります。