約数|数的処理問題解説

約数

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15120の約数の個数はいくつか(特別区2000)

1:60個
2:70個
3:80個
4:90個
5:100個


約数の個数を求めるには素因数分解の考え方を用います。素因数分解とは、ある数が何の約数で構成されているかの形で表現したものです。つまり、指数の形で表現されたものです。約数の個数を数えるのにも役に立つ技法です。

指数とは例えば8=2×2×2と表せます。2という同じ数字が3個、掛け算の形で表されているので、これを8=23と表現できます。この時の2は8の約数であると言います。

2×2×2×5×5だと2が3個、5が2個掛け算の形で表されているので、23×52と表せます。

イメージしにくいのですが、20は1になります。数字は何でもいいのですが〇は何でも1になりますので、数字の0乗はなんでも1になると覚えておきましょう。

素因数分解の話に戻ります。素因数分解は、ある数が何の約数で構成されているかというもので約数を数えるのにも使われるのでした。

15という数で考えましょう。15は3×5で表現できます。15の約数は3と5だけしかないように見えてしまいます。素因数分解の考え方はここまででOKです。

ここで約数の個数を考えるときのコツなのですが、15=31×51とも表現できます。約数の個数を考えるときは。下記のステップで求められます。

約数の個数を考えるときのコツ

①:素因数分解する。
②:指数の形にする。
③:指数の数+1の数をそれぞれ掛け算する。

15であれば15=31×51より指数は両者とも1なので、(1+1)×(1+1)=4となり、15の約数の個数は4個となります。確かに1、3、5、15の4つだとわかります。

15120を素因数分解すると以下のようになります.

15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7=24×33×51×71

と表せます。

よって15120の約数の数は以下のようになります。

(4+1)×(3+1) ×(1+1)×(1+1)=5×4×2×2=80

よって正解は3番とわかります。

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