【問題】
A、B、C の袋があり、 A の袋には白球が4個、黒球が2個、 B の袋には白球が2個、黒球が2個、 C の袋には白球が一個、黒球が2個入っている。今から一個球を取り出しBに入れ、 B から一個球を取り出しCに入れる。この時 C から一個取り出した球が白である確率はいくらか。ただし、どの袋からも球を取り出す確率はすべて等しいとする。(地上2005)

1：\(\frac{19}{60} \)

2：\(\frac{7}{20} \)

3：\(\frac{23}{60} \)

4：\(\frac{5}{12} \)

5：\(\frac{9}{26} \)

実際に問題文のような袋の図を書いてみましょう。黒球は B、 白球は W と表記しています。

A から球を一つ取って B に入れる時、 B か W か、どちらの球を取っているか分かりません。また B から C に球を移す時も同様です。詳しく見てみましょう。

A から球を一つ取るときには、 B である場合と W である場合が考えられます。
例えば B であった場合、 B の袋の中にある B の数は3つに なることが分かります。

つまり取る球の色によって B から球を取り出すときの確率が変わってしまうため場合分けする必要があります。

さらに B から球を取り出して C の袋に入れる時に B か W か、どちらの球を取っているかここも同様に分かりません。この時も場合分けをする必要があります。Cの袋からはWを取り出す場合だけ考えればいいので、ここの場合分けは不要です。

よって全部で4通り場合分けをすることが必要だとわかります。下の表の通りです。

それでは下の場合分けした通りに確率を求めていきたいと思います。①の場合を考えます。

Aの袋からWを出す確率は全部で6個ある球の中から4個取り出すことを考えると、 \(\frac{4}{6} \)となります。（ここではあえて約分しない方が最後の計算が楽になります。）

このWは問題文よりBの袋に入れて考えるので、Bの袋は球が5個あることになります。
Bの袋からWを取り出す確率は、全部で5個ある球の中から3個取り出すことを考えると、 \(\frac{3}{5} \)となります。

このWは問題文よりCの袋に入れて考えるので、Cの袋は球が4個あることになります。
Cの袋からWを取り出す確率は、全部で4個ある球の中から2個取り出すことを考えると、 \(\frac{2}{4} \)となります。

①の場合での確率をすべて求めることができました。②、③、④も同様に考えると、それぞれの確率は下記の表のようになります。

（Aも白球、かつ、Bも白球、かつ、Cも白球である確率）＝（Aの袋から白球を出す確率）×（Bの袋からも白球を出す確率）×（Cの袋からも白球を出す確率）
となります。

Aの袋から球を出す、Aから出した球をBに入れてBの袋から球を出す、Bから出した球をCに入れてCの袋から球を出す、という一連の作業は

①の場合の確率を計算すると、

\(\frac{4}{6} \)×\(\frac{3}{5} \)×\(\frac{2}{4} \)（乗法定理）と表せます。

②～④も同様に求められるので、それぞれを計算します。

①～④を計算すると、

\(\frac{4×3×2}{6×5×4} \) + \(\frac{4×2×1}{6×5×4} \) + \(\frac{2×2×2}{6×5×4} \) + \(\frac{２×３×１}{6×5×4} \)（加法定理） = \(\frac{46}{6×5×4} \) = \(\frac{23}{60} \)

よって正解は3番だとわかります。