20本のくじの中に3本の当たりくじがある。この20本の中から同時に2本のくじを引くとき、当たりくじが1本以上ある確率はいくらか。国税専門官(2009)

1：\(\frac{33}{190}\)

2：\(\frac{39}{190}\)

3：\(\frac{49}{190}\)

4：\(\frac{26}{95}\)

5：\(\frac{27}{95}\)

確率の余事象に関する問題です。余事象とは、ある事象に対してそれが「起こらない」事象のことです。確率で使用すると、「全体から求めたいものが起こらない確率を引く」ことで求めたい確率を求めるという手法です。

問題文を見てみましょう。

当たりくじが1本以上ある確率を問われています。 同時に2本のくじを引くので、当たりが0本の場合、当たりが1本の場合、2本とも当たりの場合が考えられます。

当たりくじが1本以上ある確率を求めないといけないので、当たりが1本の場合と当たりが2本の場合を計算し、 両者を足し算せば答えが出せます。

しかし、当たりが0本1本2本の場合全てを合計すると確率は1になります。 よって、 1本以上当たりが出る確率を出すのであれば、当たりが0本の場合の確率を求めて、1からこれを引くことを考える方が非常にシンプルで早いです。

このように、 余事象を使うと考えるべき場合分けを減らすことができます。

「〇〇以上、〇〇以下、少なくとも～」などが出てきたら、 余事象が使えないかを考えてみましょう。

当たりが0本の場合を考えてみます。20本ある中から日本のくじを引いて行くのですが、3本が当たりなのではずれは17本あると分かります。

つまり当たりが0本になるには、20本ある中から2本のくじを引くうちの、17本あるはずれくじの中から日本のくじを引く確率を求めれば良いとわかります。

よって当たりが０本の時の確率を求める計算は下記の通りです。

\(\frac{_17C_2}{_20C_2}\) = \(\frac{17×16}{2×1}\)÷\(\frac{20×19}{2×1}\)

= \(\frac{17×16}{20×19}\) = \(\frac{68}{95}\)

よって当たりが1本以上ある場合の確率は、1 – \(\frac{68}{95}\)= \(\frac{27}{95}\)

よって正解は2番だとわかります。