【問題】
ある職場は、AからFの6人の職員で構成され、このE及びFは新人職員である。新人職員は1人だけまたは2人だけで外出または留守番をしないとするとき、外出する職員の組み合わせは何通りあるか。（特別区2008）

1: 51通り
2: 53通り
3: 55通り
4: 57通り
5: 59通り

問題文を見てみましょう。

外出や留守番をする際に、新人職員だけになってしまうとその場合は外出もしくは留守番をさせないという条件になっています。全部で6人職員がいるのですが、その中から何人外出するのかもしくは留守番するのかということが問題には書かれていません。

つまり、1人外出する場合、2人外出する場合、3人外出する場合、…といろんなパターンが考えられそうだなということがわかります。

例として2人外出する場合を考えてみましょう。6人の中から2人が外出することを考える時に、AさんとBさん、AさんとCさん、のようにいろんなパターンが考えられます。

しかしここでは、AさんとCさんという風に選んでもCさんとAさんという風に順序を変えて選んだとしても、結果としては変わりません。つまり、並び替えても結果には反映されないということなのです。

このように、並び替えて結果が変わるのかを考えれば、順列を使うべきなのか組み合わせを使うべきなのか、どちらか判断ができるという事になります 。

実際に問題を解いていきましょう。先ほどお話ししたように、 1人外出する場合、2人外出する場合、…のように順番に場合分けしていきましょう。

1人外出する場合では、6人のうちから1人を選ぶことを考えます。しかし新人職員だけでは外出ができないので6人のうちからではなく4人のうちから1人を選ぶことを考えます。

4人のうちから1人を選ぶので式は次のようになります。

₄C₁ = 4

2人が外出する場合では6人のうちから2人を選ぶことを考えます。しかし選んだ2人とも新人職員になってしまうとこれも外出ができないので、6人のうちから2人を選ぶ場合からこの1通りのみを除かなければなりません。式は次のようになります。

_６C_２ – 1 = \(\frac{6×5}{2×1}\) – 1 = 14

3人が外出する場合では6人のうちから3人を選ぶことを考えます。この時外出する側も留守番する側も新人職員だけになることはないので、 単純に6人のうちから3人を選ぶ場合について考えます。式は次のようになります。

_６C₃ = \(\frac{6×5×4}{3×2×1}\) = 20

4人が外出する場合では6人のうちから4人を選ぶことを考えます。残った2人とも新入職員なってしまうと外出ができないという点は2人が外出するパターンと同じであることがわかります。よって式は次のようになります。

_６C_２ – 1 = \(\frac{6×5}{2×1}\) – 1 = 14

5人外出する場合では、6人のうちから5人を選ぶことを考えます。これも同様に、1人留守番している人が新人職員になってしまうと条件に合わないので、その点に注意しながら誰か1人を留守番させるかを選ぶことになります。これは1人外出する場合と同じ考え方であるとわかります。よって式は次のようになります。

₄C₁ = 4

6人外出する場合では6人のうちから6人を選ぶ、つまり1通りだけになります。新人職員だけで外出することも留守番することもないのでこの1通りだけです。

₆C₆ = 1

よってこれらを足し合わせると、

4 + 14 + 20 + 14 + 4 + 1 = 57

よって正解は4番だとわかります。