A からDの4人が、100点満点の試験を受けた。4人の得点について、次のことが分かっている時、A の得点と B の得点を足し合わせた得点はどれか。ただし、試験の得点はすべて整数とし、0点のものはいないものとする。国家専門職(2013)

A の得点は、B の得点の\(\frac{5}{7} \)倍であった。

B の得点は、C の得点の\(\frac{5}{3} \)倍であった。

C の得点は、D の得点の2倍であった。

1: 36点
2: 60点
3: 96点
4: 120点
5: 144点

倍数や比に関する問題です。

特に身構えることなく、文章を数式に起こして、複数種類のある文字を少なくしていくことを考えましょう。

問題文にある条件を見ていきます。それぞれ条件を (A), (B), (C) とおきましょう。

A の得点は、B の得点の\(\frac{5}{7} \)倍であった…(A)

B の得点は、C の得点の\(\frac{5}{3} \)倍であった。…(B)

C の得点は、D の得点の2倍であった。…(C)

それぞれの条件を見ていくと、条件(A) では AとB の得点を比較、条件(B) では BとC の得点を比較、条件(C) では CとD の得点を比較、としていることがわかります。それぞれ A から D まで文字を使って表してみましょう。すると次のような式になります。

A =\(\frac{5}{7} \) ×B…①

B =\(\frac{5}{3} \) ×C…②

C = 2D…③

それぞれの式を見てみると、〇＝（△の式）という形になっていると思います。これは、「〇という文字を見たら、その〇にこの式の右辺（△の式）をそのまま代入していい」と言い換えていると思ってください。イメージがつきにくいと思うので実践してみましょう。

③を見てみると、 C という文字を見たら、2 D という文字に置き換えるということを表しています。どこかに C という文字が他にないかなと探してみます。すると②に C を使っている式があります。ここに代入してみます。

B =\(\frac{5}{3} \)×2D =\(\frac{10}{3} \)×D…②’

同様に②’の式を見ると”B = ”の形になっているので、 他に式の中に B という文字が使われている式がないかなと探してみます。すると同様に①にBがあることがわかります。

ここにも B を代入してみます。すると次のようになります。

A =\(\frac{5}{7} \) ×\(\frac{10}{3} \)×D =\(\frac{50}{21} \)×D…①’

それぞれ文字を代入した式を見てみましょう。すると、全て D の文字を使って表されていることがわかります。

①’, ②’, ③より、

A:B:C:D =\(\frac{50}{21} \)×D :\(\frac{10}{3} \) ×D : 2D : D

比なので分数の形を無くすために21倍すると、

50D : 70D : 42D : 21D

同じく比の形なので全体をDで割り算すると、

50 : 70 : 42 : 21 となります。

4人のテストの点は整数で、0点も101点以上の人もいないので、これが4人の点数として良さそうだとわかります。仮に全体を2倍してみると、A, Bの2人が100点を超えてしまいますし、1.1～1.9倍しても、整数にならない人が出てきます。

問題文より、AとBの得点の和が答えなので、

50 + 70 = 120となります。

よって答えは4番が正しいとわかります。