【問題】
A、B の2人で行うとAだけで行うより12日間早く終了し B だけで行うより27日間早く終了する仕事を、Aだけで行うとき、終了するまでにかかる日数として正しいのはどれか。（東京都2008）

1：18日
2：24日
3：30日
4：36日
5：42日

仕事算の問題です。仕事算とはAさんとBさんで一定の仕事をし、その一定の仕事を A さんだけ、B さんだけ、もしくは別の人仕事をした場合にどのくらい時間がかかるかなどを問いにしたものです。

ポイントとしては、 登場人物の一時間当たりの仕事量を変数に置くことです。問題を見ていきましょう。

ここではAさんとBさんが出てきています。 A さんの1時間あたりの仕事量をa、 Bさんの1時間あたりの仕事量を b、 Aさんと Bさん2人で作業する時にかかった時間を x、 全体の仕事量を W と置くと、次のように式が立てられます。問題文を見ながら１つずつ式を立てていきましょう。

「A、B の2人で行うと」

このときかけた時間をｘとしたので、できた仕事は、

W = ax + bx…①

「Aだけで行うより12日間早く終了し」

このとき、2人で実施するよりも時間はかかっていますが、こなした仕事は2人の時と同じWであるので、式を立てると、

W = a(x + 12)…②

「B だけで行うより27日間早く終了する仕事を」

②のときと同様にして考えると、

W = b(x + 27)…③

②③を式変形すると、

a = \(\frac{W}{(x+12)}\)…②’

b = \(\frac{W}{(x+27)}\)…③’

①に②’③’を代入すると、

W = \(\frac{W}{(x+12)}\)x + \(\frac{W}{(x+27)}\)x

両辺をWで割ると、

1 = \(\frac{1}{(x+12)}\)x + \(\frac{1}{(x+27)}\)x

分母をなくすために両辺を(x+12)×(x+27)倍すると、

(x+12)×(x+27) = (x+12)x + (x+27)x

x² + 39x + 324 = x² + 12x + x² + 27x

324 = x²

xについて解くと、

x = 18

求めたいのは Aさんだけで仕事をした時にかかった時間なので、

x+12 = 18 + 12 = 30

よって正解は3番だとわかります。