にせ金問題|数的処理問題解説

にせ金問題

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9 枚の同じ形、同じ大きさの金メダルA~Iがある。このうち 7 枚は 純金製で同じ重さであるが、 2 枚は金メッキをしたもので純金製より軽い。天秤ばかりを使って、次のア~エのことが分かっているとき、金メッキのメダルはどれか。ただし、2 枚の金メッキのメダルは同じ重さである。 特別区(2019)

ア 左にA・C・E、右にD・F・Gのメダルをのせたところつり合った。
イ 左にA・E・F、右にB・D・Hのメダルをのせたところつり合った。
ウ 左にA・E・F、右にC・D・Gのメダルをのせたところつり合わなかった。
エ 左にB・D・H、右にE・F・Iのメダルをのせたところつり合った。

1: A
2: B
3: C
4: D
5: E


ニセ金問題とも言われる、偽物のコインを探し出す問題です。

「天秤にかけて重さが等しければ本物のコインである」とだけ考えがちですが、「偽物同士を一枚ずつ含む場合」も考えられます。その点がこの問題の落とし穴です。気をつけて問題文を見ていきましょう。

最初の条件では両者が釣り合っています。つまり天秤の左側も右側も見ても偽物は0枚、もしくは両方とも1枚ずつ偽物を含むということがわかります。

2番目の条件も釣り合っているので、同様に天秤の左側も右側も偽物は0枚もしくは両方とも1枚ずつ偽物を含むということがわかります。

3番目の条件で初めて天秤が釣り合わなくなりました。天秤が釣り合うはないということは右か左のどちらかの器に、偽物が1枚、もしくは偽物が2枚載っていることがわかります

最後の条件では釣り合いました。同様に天秤の左側も右側も偽物は0枚もしくは両方とも1枚ずつ偽物を含むということがわかります。

ここで、3番目の条件の天秤が釣り合わなかった点に着目してみましょう。

この時の天秤に載っているものは、左の器のA, E, Fと全く同じで、右の器ではDが共通していることがわかります

つまり、B, HC, Gになると釣り合わなくなることがわかります。つまり、これらの中のどこかに偽物があるのではないかと考えます。

2番目の条件で、A, E, Fに1枚、B, D, Hに1枚ずつ偽物が含まれていたとすると、B, Hのどちらかの偽物が本物であるC, Gに変わったことで釣り合ったと考えられます。

しかし、この時1番目の条件を見てみると、A, E, Fに偽物が1枚あり、偽物が無いC, D, Gを天秤に乗せているのは矛盾することがわかります。(B, Hのどちらかに偽物が1枚あり、偽物は全部で2枚しかないので、Dも本物だとわかります。)

よって、A, E, Fに偽物が無いパターンを考えます。

すると、B,Hも本物だから2番目の条件が釣り合っていて、C, Gに偽物が1枚か2枚含まれているとわかります。A, B, D, E, F, Hは本物だと言えます

4番目の条件ではまだわかっていないIに関しても、C, Gを使用せずに釣り合っているので、Iも本物だとわかります。よって、偽物はC,Gの両方であると判断できました。

よって正解は3番であるとわかります。(4番目の条件を見る前に答えを3番としてしまっても大丈夫です)

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