油分け算|数的処理問題解説

油分け算

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【問題】7Lと9Lのカラの容器と水の入った大きな水槽がある。これらの容器を使って水を汲んだり移し替えたりする操作を繰り返し、9Lの容器に8Lの水を入れるためには、最低何回の操作が必要か。ただし、1回の操作とは、次のア~ウのうちいずれか一つだけであるものとする。(特別区2015)

ア:どちらか一方の容器で、大きな水槽から水をくむ。
イ:どちらか一方の容器から、他方の容器に水を移し替える。
ウ:どちらか一方の容器から、大きな水槽に水を移し替える。

1:14回
2:15回
3:16回
4:17回
5:18回


油分け算は日本古来の和算で、知っていればすぐに解けますが知らなければ苦戦します。

まず、移し替えのルールを決めます。あっちに移したりこっちに移したりしていては、無駄な水の移動が生じますので、次のように一定の方向に移すようにします。

まず、大(水槽)から中(9L)満タンにします。
→中から小(7L)に移します。
→小が満タンになったら、小から水槽に戻します。
→また中から小に移します。
→中が空っぽになったら最初に戻ります。

この一連の作業は、下図のようなグラフに表すことができます。

グラフの横軸を中容器、縦軸を小容器の容量とします。

中容器は9L、小容器は7Lしか入りませんので、横軸が0~9まで・縦軸が0~7までの、長方形の範囲内でしか値を取り得ないことに注意してください。

①横軸上に、突き当たり(中容器満タンの値)まで矢印を引きます。
中を満タンにすることを意味します。
中9L・小0

②斜め左上45°方向に、長方形の端に突き当たるまで矢印を引きます。
中から小へ水を移し替えることを意味します。
中2L・小7L

③真下に向かって、突き当たりまで矢印を引きます。
小が満タンになったら空っぽにすることを意味します。
中2L・小0L

④②と同様、斜め方向45°方向に、長方形の端に突き当たるまで矢印を引きます。
中容器が空っぽにならない限り、小容器に水を移していくことを意味します。
中0L・小2L

⑤①の手順に戻ります。
中が空っぽになったら最初に戻り、再び満タンにすることを意味します。
中9L・小2L

⑥②と同じです。
中4L・小7L

これを順に繰り返していくと(途中略)、⑭まで作業をした時点で、中がちょうど8Lになります。

したがって、正解は選択肢①です。機械的に「グラフを正しく書く」のが、早く解くコツです。

―補足―

ここで、「最初に小容器からという順序の方がより少ない手順でできる場合があるのではないか?」と疑問に思う方がいらっしゃるのではないでしょうか?

実はそうなのです。最初に小容器から開始する場合のグラフは、次のようになります。

先ほどのグラフでは、⑭まで作業した時点では奇数Lの水を入れることができませんが、こちらのグラフでは奇数Lから先に現れています。

したがって、「5Lの水を入れる」という場合は、こちらのグラフが最少手順になります。

実はこの手順には続きがあり、どちらも最終的には原点に戻るようになっています。

2つの手順は、いわばビデオの巻き戻しのような真反対の関係にあるのです。

今回の問題では、中容器から開始する方法で解答を絞ることができましたが、あまりにも手順が多くかかる場合は、逆手順(小容器から開始)も試してみてください。

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