順序関係|数的処理問題解説

順序関係

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A から E の5人が受けた試験の得点と順位について、次のことがわかっている。この5人の中で、3位と4位の組み合わせとして正しいのはどれか。なお順位は得点の高い順である。国税・労基(2009)

〇Aの得点は、5人の平均点と等しい。
〇Dの得点は、BとEの2人の平均点と等しい。
〇AとBの順位差は3である。
〇Cは3位以内ではない。
〇5人の得点は全て異なる。

  3位  4位
1:  A    C
2:  D    A
3:  D    C
4:  E    A
5:  E    C


順序関係の問題です。問題文の条件を読みながら、取り得るパターンの数が少ないものから見ていきましょう。説明のために条件文に番号を付けていきます。

A の得点は、5人の平均点と等しい。…①
D の得点は、 BとEの2人の平均点と等しい。…②
Aと B の順位差は3である。…③
Cは3位以内ではない。…④
5人の得点は全て異なる。…⑤

①の条件からはA1位や5位でないことくらいしか分かりません。

②の条件からもEDBBDEの順になっているくらいしか分かりません。また、この3人は連番とも限りません。例えば、Eが1位、Dが3位、Bが4位なども考えられるかもしれません。②はこれくらいにして、まだ保留にしておきましょう。

有効な条件の③です。③が有効であると言えるのは、取り得るパターンが4パターンしか考えられないので、それ以外を考える必要が無くなることと、結果的に2パターンに絞れるので考えられるパターンをかなり制限できるからです。これは下記のパターンが考えられます。

A:1位、B:4位
A:2位、B:5位
A:4位、B:1位
A:5位、B:2位

より、A1位や5位にならないことがわかっているので、考えられるのは以下の2通りだとわかります。

A:2位、B:5位
A:4位、B:1位

④もCの絶対的な位置が決まる条件なので、有効な条件です。C4位か5位であるとわかるので、③と組み合わせつつ順位の順番に並び替えると、

1位:?、2位:A、3位:?、4位:C、5位:B
1位:B、2位:?、3位:?、4位:A、5位:C

?にはDとEが入ります。②にDとEの条件があったので、②の条件を含めて考えると以下のようになります。

1位:E、2位:A、3位:D、4位:C、5位:B …⑤
1位:B、2位:D、3位:E、4位:A、5位:C …⑥

となります。

ここで、DはB、Eの平均点で、Aは5人全員の平均点でした。

⑤を見てみましょう。

例えば、Eが90点、Dが50点、Bが10点、だったとします。Aは全体の2位でかつ全体の平均点であるので、3位と近い50点付近になると予想できます。

試しに60点だったとしましょう。

このとき、C2位のAの点を平均にするには、60点よりも少し高い数字をとる必要があるのですが、4位のC50点以上にはならないので、この場合は不適切であるとわかります。

Eが60点、Dが50点、Bが40点、のような得点の幅が狭い条件で考えても、上手く当てはまる場合はないと気付きます。(読んでピンと来なくても良いので、実際に自分でもいくつか数字を当てはめて試してみてください)

⑥を見てみましょう。

例えば、Eが90点、Dが80点、Bが70点、だったとします。E~Bは得点が高い場合を想定したので、平均点となるAも点数が高くなると考えられます。試しに60点としましょう。

このとき、Cの点がいくつなら成立するかを考えたいので、Cの点をtとおくと、

\(\frac{(t+60+70+80+90)}{5}\) = 60

⇔ t + 300 = 300

⇔ t = 0

よってCが0点であればこの時の条件は成立することがわかります。(点数を変えても当てはまる場合はあるので、試してみてもいいかもしれません)

よって正解は4番だとわかります。

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