論理・真偽|数的処理問題解説

論理・真偽

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【問題】
A~Dの4人はジョギング、水泳、テニス、柔道のうちいずれか1つが好きで、好きなスポーツは互いに異なる。4人に関する各人の発言は以下の通りであった。

A「私が好きなのはジョギングである。」
「Cが好きなのは水泳ではない。」

B「私が好きなのはジョギングである。」

C「Dが好きなのは柔道である」
「Bの発言は2つとも本当である」

D「Aが好きなのは水泳ではない」
「Cが好きなのはテニスではない」

いま、各人の発言は少なくとも1つは本当のことを言っていたことがわかっている。このとき確実にいえるのは次のうちどれか。

1:Aは1つだけ本当の発言をしている。
2:Cは2つとも本当の発言をしている。
3:Dは2つとも本当の発言をしている。
4:Aが好きなのはテニスである。
5:Bが好きなのは水泳である。

(地方上級2005)


いわゆる「ウソつき問題」です。
このタイプの問題は、そもそもどれが本当でどれがウソなのかもわからないため、どこから手をつけたらいいのかわからなくなってしまいます。

そこでよく用いられるのが「背理法」です。

これは、あることを仮定した結果矛盾を生じたとき、「そもそもはじめの仮定が間違っていたのだ」と結論付ける考え方です。

まず、それぞれの発言を見比べて「これはおかしい、どちらかが本当ならもう一方がウソだ」といえるところがあれば、そこが大きな足掛かりになります。

AとBの発言を見比べると、どちらも「私が好きなのはジョギングである」と言っています。好きなスポーツは互いに異なるのですから、どちらか一方が本当のことを言っているとすれば、他方はウソをついています。

ここで仮に、Bの発言が2つとも本当であるとします。

するとAの前半の発言はウソになり、Bの後半「Aの発言は2つとも本当である」と矛盾します。

背理法により、これはそもそも「Bの発言が2つとも本当である」という仮定が間違っていたのだ、と結論付けることができます。

この時点で、Cの後半の発言はウソだと確定しますので、前半は本当でなくてはならず、Dが好きなのは柔道であることが確定します。

さて、Bの発言は

①前半が本当で後半がウソ
②前半がウソで後半が本当

このどちらかですので、場合分けをして考えます。

①の場合:

「Bが好きなのはジョギングである」と言えます。

先に議論したとおり、Aの発言の前半はウソで後半は本当となります。

「Cが好きなのは水泳ではない」ことから、消去法によりCが好きなのはテニス、Aが好きなのは残りの水泳となります。

ところがこれだとDの発言がどちらもウソになってしまい、「少なくとも1つは本当のことを言っていた」という条件と矛盾します。

②の場合:

「Bが好きなのはジョギングではない」と言えます。

「Aの発言が2つとも本当である」といえますので、Aが好きなのはジョギングとなります。

「Cが好きなのは水泳ではない」ことから、消去法によりCが好きなのはテニス、Bが好きなのは残りの水泳となります。

今度はDの発言の前半が本当で後半がウソとなり、条件と矛盾しません。

以上より、正解は選択肢5です。

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